【1.设G是有限群.证明：G中使x^3=e的元素x的个数是奇数.2.一个群G能被它的3个真子群覆盖吗?并举例或证明.3求有理数加群Q的自同构群Aut(Q).】
1人问答
问题描述：
1.设G是有限群.证明：G中使x^3=e的元素x的个数是奇数.
2.一个群G能被它的3个真子群覆盖吗?并举例或证明.
3求有理数加群Q的自同构群Aut(Q).
陈金儿回答：
1、我前面帖子已答,除了x与x^2成对出现,还要注意G中元素构成的循环群（去除相等的）两两不相交.
2、有点像四元数中i、j、k的运算,对集合G={e,a,b,c},定义乘法
ea=a,eb=b,ec=c,
a^2=b^2=c^2=e^2=e,
ab=c,bc=a,ac=b,
乘法可交换.则易验证G是交接群,子群
{e,a}、{e,b}、{e,c}覆盖G.
3、Aut(Q)={f(x)=qx|q是非0的有理数}.
证：不难看出,若f是Q的同态,则
f(0)=f(0)+f(0),从而f(0)=0.
记f(1)=q,则由数学归纳法易见对自然数f(n)=nq.
f(-n)+f(n)=f(0)=0,从而
f(-n)=-f(n)=-nq.
又归纳知nf(x)=f(nx),从而
f(x)=f(nx)/n.（x是任意有理数）
即对有理数m/n,有
f(m/n)=f(m)/n.
于是
f((m/n)*y)=(m/n)*f(y),
对上式记x=m/n,并取定y=1,则
f(x)=xf(1)=xq.
由f是单同态,则Kerf={0},从而q不为0.
容易验证当q为有理数时,f还是满同态,从而是同构.
综上,Q的自同构就只有f(x)=qx（q不等于0）.
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