观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．（2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．（3）将（2）中点P变为
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问题描述：
观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．
（2）将（1）中点P移至△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
（3）将（2）中点P变为两个点P1、P2得下图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
（4）将（3）中的点P1、P2移至△ABC外，并使点P1、P2与点A在边BC的异侧，且∠P1BC<∠ABC，∠P2CB<∠ACB，得图，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
（5）若将（3）中的四边形BP1P2C的顶点B、C移至△ABC内，得四边形B1P1P2C1，如图⑤，试观察比较四边形B1P1P2C1的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．
（1）如图，△ABC中，P为边BC上一点，试观察比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明理由．
丁洪涛回答：
（1）BP+PC<AB+AC，理由：三角形两边之和大于第三边，或两点之间线段最短．
（2）△BPC的周长<△ABC的周长．理由：
如图，延长BP交AC于M，在△ABM中，BP+PM<AB+AM，在△PMC中，PC<PM+MC，两式相加得BP+PC<AB+AC，于是得：△BPC的周长<△ABC的周长．
（3）四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长．理由：
如图，分别延长BP1、CP2交于M，由（2）知，BM+CM<AB+AC，又P1P2<P1M+P2M，可得，BP1+P1P2+P2C<BM+CM<AB+AC，可得结论．
或：作直线P1P2分别交AB、AC于M、N（如图），△BMP1中，BP1<BM+MP1，△AMN中，MP1+P1P2+P2M<AM+AN，△P2NC中，P2C<P2N+NC，三式相加得：BP1+P1P2+P2C<AB+AC，可得结论．
（4）四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长．理由如下：将四边形BP1P2C沿直线BC翻折，使点P1、P2落在△ABC内，转化为（3）情形，即可．
（5）比较四边形B1P1P2C1的周长<△ABC的周长．理由如下：
如图，分别作如图所示的延长线交△ABC的边于M、N、K、H，在△BNM中，NB1+B1P1+P1M<BM+BN，又显然有，B1C1+C1K<NB1+NC+CK，及C1P2+P2H<C1K+AK+AH，及P1P2<P2H+MH+P1M，将以上各式相加，得B1P1+P1P2+P2C+B1C1<AB+BC+AC，于是得结论．
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