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z^2sin(1/(z-1))在z-1处的展开,是复变函数内容的
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问题描述:

z^2sin(1/(z-1))在z-1处的展开,是复变函数内容的

陈福盈回答:
  由于是在z-1处展开,所以先要把所有的z变成z-1   z²sin(1/(z-1))   =(z²-2z+1+2z-2+1)sin(1/(z-1))   =[(z-1)²+2(z-1)+1]sin(1/(z-1))   =(z-1)²sin(1/(z-1))+2(z-1)sin(1/(z-1))+sin(1/(z-1))(1)   下面展开sin(1/(z-1))   sin(1/(z-1))=Σ{n=0→+∞}1/[(2n+1)!(z-1)^(2n+1)]   代入(1)式得:(为方便这里观看,我一项一项做)   (z-1)²sin(1/(z-1))   =(z-1)²Σ{n=0→+∞}1/[(2n+1)!(z-1)^(2n+1)]   =Σ{n=0→+∞}1/[(2n+1)!(z-1)^(2n-1)]   =(z-1)+Σ{n=1→+∞}1/[(2n+1)!(z-1)^(2n-1)]   =(z-1)+Σ{n=0→+∞}1/[(2n+3)!(z-1)^(2n+1)]   2(z-1)sin(1/(z-1))   =2(z-1)Σ{n=0→+∞}1/[(2n+1)!(z-1)^(2n+1)]   =Σ{n=0→+∞}2/[(2n+1)!(z-1)^(2n)]   这样得原式=(z-1)+Σ{n=0→+∞}1/[(2n+3)!(z-1)^(2n+1)]   +Σ{n=0→+∞}2/[(2n+1)!(z-1)^(2n)]   +Σ{n=0→+∞}1/[(2n+1)!(z-1)^(2n+1)]   然后自己把这三个求和合并成一个,这里打太不方便了.
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