求微分方程y=xdy/dx+(y^2)(sinx)^2的通解
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问题描述：
求微分方程y=xdy/dx+(y^2)(sinx)^2的通解
施文武回答：
Ans：y=2x/(x-sinxcosx+C)
y=x*dy/dx+y²sin²x
-x*dy/dx+y=y²sin²x
-(dy/dx)/y²+1/(xy)=(sin²x)/x
令v=1/y则dv/dx=dv/dy*dy/dx=d(1/y)/dy*dy/dx=-1/y²*dy/dx=-(dy/dx)/y²
=>dv/dx+v/x=sin²x/x
积分因子=e^∫(1/x)dx=e^lnx=x,将x乘以方程两边得
x*dv/dx+v=sin²x
x*dv/dx+v*dx/dx=sin²x
d(x*v)/dx=sin²x
x*v=(1/2)∫(1-cos2x)dx=(1/2)(x-1/2*sin2x)+C=x/2-1/2*sinxcosx+C
v=(x-sinxcosx+C)/(2x)
1/y=(x-sinxcosx+C)/(2x)
y=2x/(x-sinxcosx+C)
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