如何判断一个数是无理数还是有理数?
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问题描述：
如何判断一个数是无理数还是有理数?
刘大龙回答：
无理数与有理数的区别
1、把有理数和无理数都写成小数形式时,有理数能写成整数、小数或无限循环小数,比如4=4.0,4/5=0.8,1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数,比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数.2、无理数不能写成两整数之比,举例不对,1分之根号2,根号2本身就不是整数.利用有理数和无理数的主要区别,可以证明√2是无理数.证明：假设√2不是无理数,而是有理数.既然√2是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q又由于p和q没有公因数可以约去,所以可以认为p/q为最简分数,即最简分数形式.把√2=p/q两边平方得2=(p^2)/(q^2)即2(q^2)=p^2由于2q^2是偶数,p必定为偶数,设p=2m由2(q^2)=4(m^2)得q^2=2m^2同理q必然也为偶数,设q=2n既然p和q都是偶数,他们必定有公因数2,这与前面假设p/q是最简分数矛盾.这个矛盾是由假设√2是有理数引起的.因此√2是无理数.1.判断a√b是否无理数（a,b是整数）若a√b是有理数,它必然可以写成两个整数之比的形式：a√b=c/d（c/d是最简分数)两边a次方得b=c^a/d^a即c^a=b*(d^a)c^a一定是b的整数倍,设c^a=b^n*p同理b*(d^a)必然也为b的整数倍,设b*(d^a)=b*(b^m*q).其中p和q都不是b的整数倍左边b的因子数是a的倍数,要想等式成立,右边b的因子数必是a的倍数,推出当且仅当b是完全a次方数,a√b才是有理数,否则为无理数.
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