【在△ABC中,a,b,c为三条边的长,S表示△ABC的面积,求证：a²+b²+c²≥4(根号下3)S,并说明"="成立的条件.TAT…只有能解出来就好。无论什么方法都可以，】
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问题描述：
在△ABC中,a,b,c为三条边的长,S表示△ABC的面积,求证：a²+b²+c²≥4(根号下3)S,并说明"="成立的条件.
TAT…只有能解出来就好。无论什么方法都可以，
来杨回答：
因为a^2+b^2≥2ab≥2absin(C+π/6)=√3*absinC+ab*cosC,
所以a^2+b^2-ab*cosC≥√3*absinC,
所以2(a^2+b^2-ab*cosC)≥2√3*absinC,
也即a^2+b^2+(a^2+b^2-2ab*cosC)≥4√3*(absinC/2),
所以a^2+b^2+c^2≥4√3S.
由上面的分析可以看出,等号成立当且仅当
a^2+b^2＝2ab和2ab＝2absin(C+π/6)同时成立,
前者意味着a=b,后者意味着sin(C+π/6)=1,即C=π/3,此时是等边三角形.
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