【如图，已知点F(1，0)，直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，，求的值．__】
1人问答
问题描述：
如图，已知点F(1，0)，直线l：x=-1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，，求的值．
____
丁丰回答：
【分析】解法一：(1)我们可设出点P的坐标(x，y)，由直线l：x=-1，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，则Q(-1，y)，则根据，构造出一个关于x，y的方程，化简后，即可得到所求曲线的方程；
n(2)由过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，可以设出直线的点斜式方程，联立直线方程后，利用设而不求的思想，结合一元二次方程根与系数关系，易求λ1+λ2的值．
n解法二：(1)由得，进而可得．根据抛物线的定义，易得动点的轨迹为抛物线，再由直线l(即准线)方程为：x=-1，易得抛物线方程；
n(2)由已知，，得λ1•λ2<0．根据抛物线的定义，可们可以将由已知，，转化为，进而求出λ1+λ2的值．
法一：(Ⅰ)设点P(x，y)，则Q(-1，y)，
n由得：
n(x+1，0)•(2，-y)=(x-1，y)•(-2，y)，
n化简得C：y2=4x．
n(Ⅱ)设直线AB的方程为：x=my+1(m≠0)．
n设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又，
n联立方程组，
n消去x得：y2-4my-4=0，
nΔ=(-4m)2+12>0，
n故
n由，得：
，，
n整理得：，，
n∴===0．
n法二：(Ⅰ)由得：
，
n∴，
n∴，
n∴．
n所以点P的轨迹C是抛物线，
n由题意，轨迹C的方程为：y2=4x．
n(Ⅱ)由已知，，
n得λ1•λ2<0．则：
．①
n过点A，B分别作准线l的垂线，垂足分别为A1，B1，则有：
．②
n由①②得：，
n即λ1+λ2=0．
【点评】本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．
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