已知数列{an}的首相a1=2/3,a（n+1）=2an/（an+1）,n=1,2……（1）证明：数列{（1/an）-1}是等比数列.（2）求数列{n/an}的前n项和Sn.
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问题描述：
已知数列{an}的首相a1=2/3,a（n+1）=2an/（an+1）,n=1,2……
（1）证明：数列{（1/an）-1}是等比数列.
（2）求数列{n/an}的前n项和Sn.
陈辛波回答：
1)证明：a(n+1)=2an/(an+1)
1/a(n+1)=1/2+(1/2)*(1/an)
1/a(n+1)-1=(1/2)*(1/an-1)
1/an-1=a1*(1/2)^(n-1)=(3/2-1)*(1/2)^(n-1)=(1/2)*(1/2)^(n-1)
即数列{1/an-1}是q=1/2的等比数列
令bn=n/an=n[1+(2/3)*(1/2)^(n-1)]
Sn=(i=1~n)Σbi=(i=1~n)Σi+(i=1~n)Σ(1/2)*i*(1/2)^(i-1)
令f(x)=(i=1~n)Σx^i=x*(x^n-1)/(x-1)=[x^(n+1)-x]/(x-1)
f'(x)=(i=1~n)Σi*x^(i-1)=[nx^(n+1)-(n+1)x^n+1]/(x-1)^2
Sn=n(n+1)/2+(1/2)*[n(1/2)^(n+1)-(n+1)(1/2)^n+1]/(1/2-1)^2
=（n^2+n+4）/2-（n+2）/2^n
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