【函数f(x)=(a-1)x^2+bx+b+1,其中a不等于1,若存在实数x0,使得f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.(1)当a=-1,b=3时,求f(x)的不动点;(2)若对于任何实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围;(3)在(】
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问题描述：
函数f(x)=(a-1)x^2+bx+b+1,其中a不等于1,若存在实数x0,使得f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.
(1)当a=-1,b=3时,求f(x)的不动点;
(2)若对于任何实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若函数f(x)的图像上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点,且直线y+kx+1/[(1-a)^2+1]是线段AB的垂直平分线,求实数b的取值范围
林金娇回答：
(1):a=-1,b=3代入,得f(x)=-2x²+3x+4令f(x)=x解得x=2,-1,即此时的不动点为2,-1（注意是值,而不是坐标,这里的不动点不是点!当初我就这么错的.）
(2):转换即为对于任何实数b,函数f(x)=x恒有两个不同解,显然a≠1,所以：
f(x)=(a-1)x²+bx+b+1=x,
(a-1)x²+(b-1)x+b+1=0
∴△＝(b-1)²－4(a-1)(b+1)＞0,恒成立
化简即：b²+(2-4a)b+5-4a＞0,恒成立
因为对于任何实数b成立,所以①b=0时,即5-4a恒大于0,解得a＜5/4
②b≠0时,△(b)=(2-4a)²-4(5-4a)＜0恒成立
解得-1＜a＜1
综上所诉：-1＜a＜1
至于(3),是和楼上一样的法子,我稍微修改下
设A、B两点的坐标为（x1,x1）、（x2,x2）.
则不动点满足方程x=(a-1)x²+bx+b+1,
化简：(a-1)x²+(b-1)x+b+1=0
即A、B横坐标为方程两根
由韦达定理得x1+x2=(1-b)/(a-1),∴AB中点为((x1+x2)/2,(x1+x2)/2)
∵y=kx+1/[(1-a)²+1]是垂直平分线,而AB斜率为1
∴AB垂直平分线斜率k=-1
又∵AB中点在此直线上
∴（x1+x2)/2=-(x1+x2)/2+1/[(1-a)²+1]
把x1+x2=(1-b)/(a-1)代入,化简得
b=(1-a)/[(1-a)²+1]+1=1/{1-a+[1/（1-a)]}+1
由（2）知-1
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