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数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是不为零的常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成等比数列.证明{(an-c)/n}是等差数列!
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问题描述:

数列{an}中,a1=2,an+1=an+cn(c是不为零的常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成等比数列.

证明{(an-c)/n}是等差数列!

郭若杉回答:
  证:   a1=2   a2=a1+c×1=1+c   a3=a2+c×2=1+c+2c=1+3c   a1,a2,a3成等比数列,则   a2²=a1×a3   (1+c)²=1×(1+3c)   整理,得   c²-c=0   c(c-1)=0   c≠0c-1=0c=1   a(n+1)=an+cn=an+n   a(n+1)-an=n   an-a(n-1)=n-1   a(n-1)-a(n-2)=n-2   …………   a2-a1=1   累加   an-a1=1+2+.+(n-1)=n(n-1)/2   an=a1+n(n-1)/2=1+n(n-1)/2   n=1时,a1=1+0=1,同样满足.   (an-1)/n=[1+n(n-1)/2-1]/n=(n-1)/2   [a(n+1)-1]/(n+1)=[(n+1)-1]/2   [a(n+1)-1]/(n+1)-(an-1)/n=[(n+1)-1]/2-(n-1)/2=1/2,为定值.   (a1-1)/2=(1-1)/2=0   数列{(an-c)/n}是以0为首项,1/2为公差的等差数列.
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