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动圆P过定点F(1,0)且与直线x=-1相切,圆心P的轨迹为曲线C,过F作曲线C两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M、N.(1)求曲线C的方程;(2)求证:直线MN必过定点.
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问题描述:

动圆P过定点F(1,0)且与直线x=-1相切,圆心P的轨迹为曲线C,过F作曲线C两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M、N.

(1)求曲线C的方程;

(2)求证:直线MN必过定点.

陈邦兴回答:
  (1)∵动圆P过定点F(1,0)且与直线x=-1相切,   ∴点P到定点F的距离等于到定直线x=-1的距离,   ∴点P的轨迹为抛物线,曲线C的方程为y2=4x;   (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-1),代入y2=4x可得k2x2-2(k2+2)x+k2=0   ∴x1+x2=2(k
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