如下图，一条河宽1km，相距4km(直线距离)的两座城市，A，B分别位于河的两岸(假定岸是平行的直线)，现需铺设一条电缆连通A与B，已知地下电缆的修建费为每千米2万元，水下电缆的修
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问题描述：
如下图，一条河宽1km，相距4km(直线距离)的两座城市，A，B分别位于河的两岸(假定岸是平行的直线)，现需铺设一条电缆连通A与B，已知地下电缆的修建费为每千米2万元，水下电缆的修建费为每千米4万元，问应如何铺设电缆可使总的修建费用最少？(＝1.732，＝2.236，＝3.8730)
房胤回答：
答案：
解析：
思路本例的关键在于确定水中电缆的长度，即C点位置思路本例的关键在于确定水中电缆的长度，即C点位置．由于选择参变数的不同，总的修建费的目标函数的表达方式各异，因而有判别式法、平均值不等式法、三角换元法、平面几何作图法等不同解法．解答解法一设C为OA上一点，OC＝x(km)，则CA＝－x，BC＝．∴总修建费y＝2(－x)＋4移项并平方，得12x2＋(8－4y)x－(y2－4y＋44)＝0．∵△＝(8－4y)2＋48(y2－4y＋44)＝y2－4y＋48≥0(y＞0)，∴y≥2＋2．当y＝2＋2时，2＋2＝2－2x＋4，即3x2－2x＋1＝0，∴x＝∈(0，)，即当x＝时，y取最大值2＋2，此时CA≈3.3(km)，BC≈1.2(km)．答：先沿岸边铺设3.3km的地下电缆，再铺设1.2km水下电缆连通A，B两市时，总修建费最少．解法二设C为OA上一点，∠OBC＝α，α∈(0，arccos)，则BC＝，CA＝－tanα，∴总修建费y＝2(－tanα)＋＝2＋．令＝t，则sinα＋tcosα＝2，∴sin(α＋)＝．由|sin(α＋)|≤1，解≤1(t＞0)得t≥，∴y≥2＋2．当t＝时，由sinα＋tcosα＝2，解之得x＝∈(0，arccos)．此时CA＝－≈3.3(km)，BC＝≈1.2(km)．解法三如下图，作∠DAO＝，在AO上任取一点C1，作C1E⊥AD，E为垂足，则AC1＝2C1E；作BF⊥AD，F为垂足，交AO为C．因为水下电缆修建费是地下电缆修建费的2倍，所以AB的修建费等于EC1B的修建费．而B到直线AD的最短距离为垂线段BF，所以ACB的修建费最少．∴OC＝，总修建费最小值为2＋2此时AC≈3.3(km)，BC≈1.2(km)评析解法一叫做判别式法，在用判别式法求函数最值时应注意最值是否能真正取到，即是否存在与最值相应的自变量值，也就是“△≥0”的“＝”能否成立．简单地说是应验证．解法三是平面几何作图法，形象直观，但必须叙述、推理严谨．
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