a,b,c,为正数,求a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2的最小值
4人问答
问题描述：
a,b,c,为正数,求a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2的最小值
陈绍宽回答：
a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2
=a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2+2/ab+2/bc+2/ca
由均值不等式：
1/a^2+1/b^2≥2/ab
1/b^2+1/c^2≥2/bc
1/c^2+1/a^2≥2/ca
上三式相加得
2(1/a^2+1/b^2+1/c^2)≥2(1/ab+1/bc+1/ca)
即1/a^2+1/b^2+1/c^2≥1/ab+1/bc+1/ca
∴a^2+b^2+c^2+1/a^2+1/b^2+1/c^2+2/ab+2/bc+2/ca
≥a^2+b^2+c^2+3(1/ab+1/bc+1/ca)
=(a^2+3/ab)+(b^2+3/bc)+(c^2+3/ca)
≥2√(3a/b)+2√(3b/c)+2√(3c/a)
≥6√3
上述当a=b=c时,取得等号
胡征回答：
谢谢，但请问我的解法原式=【(a^2)/2+1/a^2+(b^2)/2+1/b^2+(c^2)/2+1/c^2）】+【(a^2)/2+（b^2)/2+（c^2)/2+1/ab+1/ac+1/bc】左部分>=(9√2)/2iffa=b=c=2^(1/4)取等右部分》=(z/8)^(1/6)iffa=b=c=2^(1/4)取等这个怎么错了？
胡征回答：
右部分由a+b+c+d+e+f>=(abcdef)^(1/6)得【(a^2)/2+（b^2)/2+（c^2)/2+1/ab+1/ac+1/bc】》=((a^2*b^2*c^2)/(8*(ab*bc*ac))^(1/6)=(1/8)^(1/6)
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