若正实数xyz满足x+y+z=4xy+yz+zx=5则x＋y的最大值是!
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问题描述：
若正实数xyz满足x+y+z=4xy+yz+zx=5则x＋y的最大值是!
陈孝华回答：
设t=x+y.
∵x+y+z=4,
∴z=4-(x+y)=4-t.
又∵xy+yz+zx=5,
∴xy=5-z(x+y)=5-zt=5-(4-t)t=5-4t+t².
根据均值不等式,xy≤(x+y)²/4=t²/4,
于是t²/4≥5-4t+t²,整理得(3t-10)(t-2)≤0,故2≤t≤10/3,也即2≤x+y≤10/3.
易验证x=y=5/3,z=2/3满足条件,并使得x+y≤10/3成立等号.
因此x+y的最大值就是10/3.
注:解释一下取等条件x=y=5/3,z=2/3的来源.
当t=10/3时,不等式t²/4≥5-4t+t²成立等号,
这要求均值不等式,xy≤(x+y)²/4成立等号,因此x=y.
而t=x+y,故x=y=5/3.此外z=4-t=2/3.
陈孝华回答：
也叫算术-几何平均不等式,有若干种变形和推广.
这里用的是xy≤(x+y)²/4这种形式,易见等价于(x-y)²≥0.
一般意义上的算术-几何平均不等式:
若x,y>0,则(x+y)/2≥√(xy)(等号成立当且仅当x=y).
左端是x,y的算术平均,右端是x,y的几何平均,因而得名.
如果你还没学均值不等式,也可以用判别式.
由x+y=t,xy=5-4t+t²,可知x,y是如下关于u的一元二次方程的两根:
u²-tu+(5-4t+t²)=0.
由x,y是实数,得判别式Δ=t²-4(5-4t+t²)=-(3t²-16t+20)≥0.
后面步骤就与上面一致了.
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