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数列{an}的前n项和Sn=-an-(1/2)^n-1+2,令bn=2^2an,求证{bn}是等差数列,并求{an}的通项公式.
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问题描述:

数列{an}的前n项和Sn=-an-(1/2)^n-1+2,令bn=2^2an,求证{bn}是等差数列,并求{an}的通项公式.

蔡萌回答:
  Sn=-an-(1/2)^(n-1)+2   1.n=1时S1=-a1-1+2解得a1=1/2   2.n>1时S(n-1)=-a(n-1)-(1/2)^(n-2)+2   所以an=Sn-S(n-1)   =-an+a(n-1)+(1/2)^(n-2)   2an=a(n-1)+(1/2)^(n-2)   两边同乘以2^(n-1)得   2^nan-2^(n-1)a(n-1)=2   设bn=2^nan则b(n-1)=2^(n-1)a(n-1)   所以bn-b(n-1)=2   故{bn}是公差为2的等差数列   首项b1=2a1=1   所以bn=1+2(n-1)=2n-1   即2^nan=2n-1   所以an=(2n-1)/2^n
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