已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,其长轴是短轴长的2倍,右准线方程为x=4√3/3.已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,其长轴长是短轴长的2倍,右准线方程为x=4√3/3.若过点（0,m）,且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A,B两点,
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问题描述：
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,其长轴是短轴长的2倍,右准线方程为x=4√3/3.
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,其长轴长是短轴长的2倍,右准线方程为x=4√3/3.若过点（0,m）,且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A,B两点,当△AOB（O为原点）面积最大时,求m的值
常林回答：
这道题是椭圆综合题,中等难度.首先根据已知条件确定a和b的值,易得a=2b,a²／c=4√3／3.且椭圆中有a²=b²＋c²,联立以上三式,解出a=2,b=1,因此椭圆的方程是x²／4＋y²=1.再根据已知条件设直线l的方程为x－y＋m=0,A（x1,y1）,B（x2,y2）,联立直线方程与椭圆方程得5／4x²＋2mx＋m²－1=0,从而x1x2=4／5（m²－1）,x1＋x2=－8／5m,故│AB│=√2√（－16／25m²＋16／5）,由S△AOB=1／2×│m│／√2×√2√（－16／25m²＋16／5）=1／2√（－16／25m∧4＋16／5m²）,因此当m=－16／5÷（－32／25）=5／2时,S△AOB取得最大值.
答：所求m值为5／2.
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