【一道高中数学函数综合题,要多少分都可以已知函数f（x）的定义域为[0,1],且同时满足：对任意x属于[0,1],总有f（x）大于等于2,f（1）=3；若x1大于等于0,x2大于等于0且x1+x2小于等于1,则有f（x1+x2】
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问题描述：
一道高中数学函数综合题,要多少分都可以
已知函数f（x）的定义域为[0,1],且同时满足：对任意x属于[0,1],总有f（x）大于等于2,f（1）=3；若x1大于等于0,x2大于等于0且x1+x2小于等于1,则有f（x1+x2）大于等于f（x1）+f（x2）-2
（1）、求f（0）的值；
（2）、试求f（x）的最大值；
（3）、设数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,Sn=-1/2（an-3）,n属于N+
求证：f（a1）+f（a2）+……+f（an）小于等于3/2+2n-1/[2*3^(n-1)]
求第二、三问详细答案,可以写出您想要多少分,如果答案详细的话我一定满足.
卢文澈回答：
（二）设0≤x10f(x2-x1)≥2,===>f(x2-x1)-2≥0.又f(x2)=f[x1+(x2-x1)]≥f(x1)+f(x2-x1)-2.===>f(x2)-f(x1)≥f(x2-x1)-2≥0.===>f(x2)-f(x1)≥0.===>f(x2)≥f(x1).即函数f(x)在[0,1]上递增.故f(x)max=f(1)=3.即f(x)max=3.(三）（1）易知,S1=a1=1.当n≥2时,有2Sn=3-an.2S(n+1)=3-a(n+1).两式相减得：2an=a(n-1)-an.===>an/a(n-1)=1/3,即{an}为等比数列,通项为an=1/3^(n-1).(n=1,2,3,...)(2).由数学归纳法可证,f(an)≤2+[1/3^(n-1)].(n=1,2,3,).现证之.当n=1时,f(a1)=f(1)=3=2+1.即当n=1时命题成立.假设当n=k时命题成立,即有f(ak)≤2+[1/3^(k-1)].易知,a(k+1)=(1/3)*ak.===>f[a(k+1)]=f[(1/3)*ak].一般的,f(t)=f[3*(t/3)]=f[(t/3)+(2t/3)]≥f(t/3)+f(2t/3)-2.而f(2t/3)=f[(t/3)+(t/3)]≥2f(t/3)-2.===>f(t)≥3f(t/3)-4.===>f(t)+4≥3f(t/3).故f(ak)+4≥3f[(1/3)ak]=3f[a(k+1)].===>3f[a(k+1)]≤f(ak)+4≤6+[1/3^(k-1)]===>f[a(k+1)≤2+[1/3^k].即当n=k+1时,命题仍成立,故有f(an)≤2+[1/3^(n-1)].(3).令n=1,2,3,n.可得f(a1)≤2+[1/3^0],f(a2)≤2+[1/3^1],f(a3)≤2+[1/3^2],...f(an)≤2+[1/3^(n-1)].将上面的n个不等式相加,左边即是f(a1)+f(a2)+...+f(an).右边是2n加1+(1/3)+(1/3^2)+(1/3^3)+...+[1/3^(n-1)]=3[1-(1/3^n)]/2=(3/2)-[1/2*3(n-1)].故命题成立.
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