证明:如图以C为原点建立坐标系.
(1)B(根号2,0,0),B1(根号2,1,0),A1(0,1,1),
D(2分之根号2,1/2,1/2),
M(2分之根号2,1,0),CD=(2分之根号2,1/2,1/2),A1B=(根号2,-1,-1),DM=(0,1/2,-1/2),CD•
A1B=0,
CD•
DM=0,
∴CD⊥A1B,CD⊥DM.
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线,
所以CD⊥平面BDM.
(2)设BD中点为G,连接B1G,
则G(
4分之3倍根号2,
1/4,
1/4),BD=(-2分之根号2,1/2,1/2),B1G=(-
4分之根号2,-
3/4,
1/4),
∴BD•
B1G=0,∴BD⊥B1G,
又CD⊥BD,∴CD与B1G的夹角θ等于所求二面角的平面角,
cosθ=
CD•
B1G|
CD|•|
B1G|=-
3分之根号3.
又由于二面角A-BD-C的平面角与面B1BD与面CBD所成二面角互补
所以所求二面角的大小为arccos3分之根号3.
分析:(1)建立空间直角坐标系,求出相关向量计算
CD
•
A1B
=0,
CD
•
DM
=0即得证,
(2)求出面B1BD与面CBD的法向量,利用向量的数量积求解可得答案.