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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=根号2,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的
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问题描述:

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=根号2,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的

侯贻蒙回答:
  证明:如图以C为原点建立坐标系.   (1)B(根号2,0,0),B1(根号2,1,0),A1(0,1,1),   D(2分之根号2,1/2,1/2),   M(2分之根号2,1,0),CD=(2分之根号2,1/2,1/2),A1B=(根号2,-1,-1),DM=(0,1/2,-1/2),CD•   A1B=0,   CD•   DM=0,   ∴CD⊥A1B,CD⊥DM.   因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线,   所以CD⊥平面BDM.   (2)设BD中点为G,连接B1G,   则G(   4分之3倍根号2,   1/4,   1/4),BD=(-2分之根号2,1/2,1/2),B1G=(-   4分之根号2,-   3/4,   1/4),   ∴BD•   B1G=0,∴BD⊥B1G,   又CD⊥BD,∴CD与B1G的夹角θ等于所求二面角的平面角,   cosθ=   CD•   B1G|   CD|•|   B1G|=-   3分之根号3.   又由于二面角A-BD-C的平面角与面B1BD与面CBD所成二面角互补   所以所求二面角的大小为arccos3分之根号3.   分析:(1)建立空间直角坐标系,求出相关向量计算   CD   •   A1B   =0,   CD   •   DM   =0即得证,   (2)求出面B1BD与面CBD的法向量,利用向量的数量积求解可得答案.
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