已知函数f(x)=ex+e-x,其中e是自然对数的底数.
(1)判断并证明f(x)的奇偶性;
(2)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;
(3)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(-x03+3x0)成立,试比较ea-1与ae-1的大小,并证明你的结论.