高一因式分解综合题（1）：证明：数n为大于2的整数时,n^5-5n^3+4n能被120整除（2）：两个整数之和比积小,且其中一个是完全平方数,试求较大的数?拜托.要过程……急
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问题描述：
高一因式分解综合题
（1）：证明：数n为大于2的整数时,n^5-5n^3+4n能被120整除
（2）：两个整数之和比积小,且其中一个是完全平方数,试求较大的数?
拜托.要过程……急
高全胜回答：
1.
n^5-5n^3+4n
=n^5-n^3-4n^3+4n
=n^3*(n^2-1)-4n(n^2-1)
=n*(n^2-1)(n^2-4)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
五个连续的整数必有一个能被5整除,所以上式能被5整除.
五个连续的整数至少有一个能被3整除,所以上式能被3整除.
五个连续的整数至少有一个能被4整除,而且(它-2)或者(它+2)一定能被8整除,所以上式能被8整除.
综上所述,原式能被3*5*8=120整除
2.这个题条件不够吧?我见过的一个相似的题,它给出的条件是：
两个整数之和比积小1000,若是,解法如下：
设那个完全平方数为a^2,另一个正整数为b,依题意有
a^2+b=a^2*b-1000
a^2*b-a^2-b=1000
a^2*b-a^2-b+1=1001
a^2(b-1)-(b-1)=1001
(a^2-1)(b-1)=1001
(a-1)(a+1)(b-1)=7×11×13
可知a+1比a-1多2,所以不必讨论,本题可以直接得出：
a-1=11
a+1=13
b-1=7
解得：a=12,b=8.
a^2=12^2=144.
因此,这两个数分别是144和8.
故：较大数为144.
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