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【(2010•鼓楼区二模)如图,已知正方形ABCD的边长为4cm,动点P从点B出发,以2cm/s的速度、沿B→C→D方向,向点D运动;动点Q从点A出发,以1cm/s的速度、沿A→B方向,向点B运动.若P、Q两点同时】
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问题描述:

(2010•鼓楼区二模)如图,已知正方形ABCD的边长为4cm,动点P从点B出发,以2cm/s的速度、沿B→C→D方向,向点D运动;动点Q从点A出发,以1cm/s的速度、沿A→B方向,向点B运动.若P、Q两点同时出发,运动时间为t秒.

(1)连接PD、PQ、DQ,设△PQD的面积为S,试求S与t之间的函数关系式;

(2)当点P在BC上运动时,是否存在这样的t,使得△PQD是等腰三角形?若存在,请求出符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;

(3)以点P为圆心,作⊙P,使得⊙P与对角线BD相切.问:当点P在CD上运动时,是否存在这样的t,使得⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点若存在,请求出符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.

沙朝锋回答:
  (1)可根据三角形PQD的面积=梯形ABPD的面积-三角形AQD的面积-三角形BPQ的面积来求解,根据P,Q的速度,可以表示出AQ、BQ、BP,那么就能表示出两直角三角形的直角边以及梯形的两底和高,可根据各自的面积计算公式得出S、t之间的函数关系式.   (2)要分三种情况进行讨论:   当PD=QD时,根据斜边直角边定理,我们可得出三角形AQD和CPD全等,那么可得出CP=AQ,可用时间t分别表示出AQ、CP的长,然后可根据两者的等量关系求出t的值.   当PD=PQ时,可在直角三角形BPQ和PDC中,根据勾股定理,用BQ、BP表示出PQ,用CP、CD表示出PD;BQ、BP、PC都可以用t来表示,由此可得出关于t的方程,解方程即可得出t的值.   当QD=PQ时,方法同上.   (3)应当考虑两种情况:   ①圆心P经过BC的中点,如果设圆与BD相切于M,BC的中点是E,那么PM=PE,可用时间t表示出CP的长,也就能表示出DP的长,那么可以根据勾股定理在直角三角形CEP中表示出PE2的长,也就表示出了PM2的长,然后根据∠MDP的正弦值表示出DP,PM的关系,由此可得出关于t的方程,进而求出t的值.   ②圆心P经过CD的中点,如过CD的中点是E,那么PM=PE,在直角三角形DMP中,DP=2-半径的长,PM=半径的长,因此可根据∠MDP的正弦函数求出半径的长,然后用t表示出CP,即可求出t的值.   【解析】   (1)当0≤t≤2时,即点P在BC上时,   S=S正方形ABCD-S△ADQ-S△BPQ-S△PCD=16-•4•t-•2t•(4-t)-•(4-2t)•4=t2-2t+8,   当2<t≤4时,即点P在CD上时,DP=8-2t,   S=•(8-2t)•4=16-4t.      (2)①若PD=QD,则Rt△DCP≌Rt△DAQ(HL).   ∴CP=AQ.即t=4-2t,解得t=.   ②若PD=PQ,则PD2=PQ2,即42+(4-2t)2=(4-t)2+(2t)2.   解得t=-4±4,其中t=-4-4<0不合题意,舍去,∴t=-4+4.   ③若QD=PQ,则QD2=PQ2,即16+t2=(4-t)2+(2t)2,解得t=0或t=2,   ∴t=或t=-4+4或t=0或t=2时,△PQD是等腰三角形.   (3)当P在CD上运动时,若⊙P经过BC的中点E,设⊙P切BD于M.   则CP=2t-4,PM2=PE2=(2t-4)2+22.   而在Rt△PMD中,由于∠PDM=45°,所以DP=PM,即DP2=2PM2.   ∴(8-2t)2=2[(2t-4)2+22].   解得t=±,负值舍去,   ∴t=,   若⊙P经过CD的中点,⊙P的半径r=2(-1),   故t=2+,   故当点P在CD上运动时,若t=或2+,则⊙P恰好经过正方形ABCD的某一边的中点.
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