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设连续函数f(x)满足f(x)+2∫(x上0下)f(e)dt=x的平方,求f(x)
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问题描述:

设连续函数f(x)满足f(x)+2∫(x上0下)f(e)dt=x的平方,求f(x)

何兴恒回答:
  f(x)+2∫[0→x]f(t)dt=x²   题是这样的吧?   两边求导:f'(x)+2f(x)=2x   将x=0代入原式得:f(0)=0   这样问题转化为微分方程的初值问题   这是一阶线性微分方程,套公式即可   f(x)=e^(-∫2dx)[∫2xe^(∫2dx)dx+C]   =e^(-2x)[∫2xe^(2x)dx+C]   =e^(-2x)[∫xde^(2x)+C]   =e^(-2x)[xe^(2x)-∫e^(2x)dx+C]   =e^(-2x)[xe^(2x)-(1/2)e^(2x)+C]   =x-1/2+Ce^(-2x)   将f(0)=0代入后得:C=1/2   因此:f(x)=x-1/2+(1/2)e^(-2x)   若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.
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