f(x)+2∫[0→x]f(t)dt=x²
题是这样的吧?
两边求导:f'(x)+2f(x)=2x
将x=0代入原式得:f(0)=0
这样问题转化为微分方程的初值问题
这是一阶线性微分方程,套公式即可
f(x)=e^(-∫2dx)[∫2xe^(∫2dx)dx+C]
=e^(-2x)[∫2xe^(2x)dx+C]
=e^(-2x)[∫xde^(2x)+C]
=e^(-2x)[xe^(2x)-∫e^(2x)dx+C]
=e^(-2x)[xe^(2x)-(1/2)e^(2x)+C]
=x-1/2+Ce^(-2x)
将f(0)=0代入后得:C=1/2
因此:f(x)=x-1/2+(1/2)e^(-2x)
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