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考研高数问题。已知梯度的定义为:u对x偏导=P,u对y偏导=Q,u对z偏导=R,(P,Q,R)为函数u在该点的梯度。现在已知u的梯度,求u的函数,为什么是∫Pdx+Qdy+Rdz,而不是∫Pdx或者∫Qdy或者∫Rd
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问题描述:

考研高数问题。

已知梯度的定义为:u对x偏导=P,u对y偏导=Q,u对z偏导=R,(P,Q,R)为函数u在该点的梯度。

现在已知u的梯度,求u的函数,为什么是∫Pdx+Qdy+Rdz,而不是∫Pdx或者∫Qdy或者∫Rdz其中一个,他的定义是u对x偏导=P,u对y偏导=Q,u对z偏导=R,相加后积分不就等于算了三遍么?

也就是偏导数的积分等于原函数,P是u对x的偏导,对P积分不就得出u了么?

为什么还要写成∫Pdx+Qdy+Rdz这样不就等于算了三遍么?

宋士刚回答:
  偏导数的积分并不等于原函数,有时候你想不明白可以举一个简单的例子,通过实例理清思路.例如三元函数f(x,y,z)=X^2十Y^2十Z^2,函数对X,y,z的偏导数为分别为2x,2y,2z,那么§2xdx显然不等原函数.2x十2y十2z称为原函数的全微分,不应该简单理解为各偏导数的和.
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