【两个正整数a,b适合等式a+2a^2=b+3b^2,则两数根号（1+2a+2b）与根号（1+3a+3b)是否都是有理数】
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问题描述：
两个正整数a,b适合等式a+2a^2=b+3b^2,则两数根号（1+2a+2b）与根号（1+3a+3b)是否都是有理数
胡婷婷回答：
a+2a^2=b+3b^2
一方面：a-b+2a^2-2b^2=b^2
有(a-b)(2a+2b+1)=b^2
另一方面：a-b+3a^2-3b^2=a^2
有(a-b)(3a+3b+1)=a^2
即(a,b)=r,则a=rm,b=rn(r,m,n都是正整数)
两式相比,有(2a+2b+1)/(3a+2b+1)=b^2/a^2=n^2/m^2
另外,对于(3a+3b+1)和(2a+2b+1)的最大公约数,我们有
(3a+3b+1,2a+2b+1)=(a+b,2a+2b+1)=(a+b,1)=1
所以(3a+3b+1,2a+2b+1)是互质的,而(m,n)=1,(m^2,n^2)也是互质,所以必有
2a+2b+1=n^2
3a+2b+1=m^2
即2a+2b+1与3a+3b+1都是完全平方数.
这样,对于只要满足a+2a^2=b+3b^2的正整数a,b,表达式√(1+2a+2b)和√(1+3a+3b)都是有理数,而且也是整数.
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