【数学建模：狐狸与野兔狐狸与野兔（捕食者与被捕食者）问题在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔.在大自然的和谐的坏境中,野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝.因为每一种动物都有它】|高中数学问答-字典翻译问答网

【数学建模：狐狸与野兔狐狸与野兔（捕食者与被捕食者）问题在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔.在大自然的和谐的坏境中,野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝.因为每一种动物都有它】

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问题描述：

数学建模：狐狸与野兔

狐狸与野兔（捕食者与被捕食者）问题

在一个封闭的大草原里生长着狐狸和野兔.在大自然的和谐的坏境中,野免并没有因为有狐狸的捕食而灭绝.因为每一种动物都有它们特有的技巧来保护自己.设t时刻它们的数量分别为y(t)和x(t),已知满足以下微分方程组

若草原上现在有50000只野兔,2000只狐狸.请完成下面任务

(1)分析这两个物种的数量变化关系.

(2)在什么情况下狐狸和野兔数量出现平衡状态?

(3)建立另一个微分方程来分析人们对野兔进行捕猎会产生什么后果?对狐狸进行捕猎又会产生什么后果?

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龚安回答：

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　　用多种方法解下述初值问题,并与其准确解进行比较. 　　解取步长.用各方法进行计算对应结果及绝对误差见表（1）、（2）、（3）. 　　表（1）　　xn 　　欧拉公式　　改进的欧拉公式　　四阶标准龙格—库塔公式　　yn 　　误差　　yn 　　误差　　yn 　　误差　　0.0 　　1.000000 　　1 　　1 　　0.1 　　1.000000 　　1.0050000 　　1.00483750 　　0.2 　　1.010000 　　1.019025 　　1.01873090 　　0.3 　　1.029000 　　1.041218 　　1.04081842 　　0.4 　　1.056100 　　1.070802 　　1.07032029 　　0.5 　　1.090490 　　1.107076 　　1.10653093 　　0.6 　　1.131441 　　1.149404 　　1.14881193 　　表（2）四阶阿当姆斯公式　　n 　　xn 　　显示公式　　隐式公式① 　　yn 　　误差　　yn 　　误差　　3 　　0.3 　　取自准确解　　— 　　1.04081801 　　4 　　0.4 　　1.07032292 　　1.07031966 　　5 　　0.5 　　1.10653548 　　1.10653041 　　6 　　0.6 　　1.14881481 　　1.14881101 　　备注　　y1,y2,y3取自准确解　　y1,y2取自准确解　　①对本题关于y为线性,代入隐式公式时,可解出yn+1,因此可直接求隐式公式之解. 　　表（3）四阶阿当姆斯预测—校正公式　　n 　　xn 　　显示公式　　隐式公式① 　　Yn 　　误差　　yn 　　误差　　4 　　0.4 　　1.07031992 　　1.07032014 　　5 　　0.5 　　1.10653027 　　1.10653077 　　6 　　0.6 　　1.14881103 　　1.14881175 　　备注　　y1,y2,y3由四阶标准龙格—库塔公式提供　　对比以上各表数据可以看到,在相同步长下求解同一问题时,方法的阶数越高,解的精度也越高,一阶的欧拉公式精度最低,而四阶标准龙格—库塔公式的精度又大大高于改进的欧拉公式（二阶龙格—库塔法）.同是四阶阿当姆斯方法、显示的精度略低于隐式,这可以从式（8-27）、式（8-28）局部截断误差系数预料到.同是阿当姆斯预测—校正系统,带误差修正的精度又高于不带误差修正的. 　　从计算量上看,四阶龙格—库塔法计算量最大,每前进一步要计算4次函数值f,而与它精度差不多的带误差修正的阿当姆斯预测—校正法,每前进一步只要计算两次函数值f,所以后者是可取的.但它是四步法,不能自开始,必须用其它方法提供出发值,程序略复杂些. 　　例2步长的计算结果的影响　　用欧拉公式求下述初值问题在x=1处的近似解,并与准确解y(1)=1比较. 　　解分别取步长进行计算,结果见下表.由表中数据可见,步长不同效果大不一样,当时结果完全失真,而取比计算量增加了十倍,但解的精度却基本一样,可见取太浪费计算量了. 　　步长h 　　y(1)的计算值　　上述结果差异很大的原因在于欧拉公式的绝对稳定区间为（－2,0）步长h应满足,对本题,,故应取h满足　　即　　可见取时欧拉公式是数值不稳定的,导致结果失真,而取和都满足稳定性要求,可用于求解. 　　由此例可见,求解微分方程时一定要注意步长的选取,过大则导致解的失真,过小又会使计算量大增.究竟取多大步长才合适,不仅取决于所采用的数值方法,还决定于待解微分方程本身的特性. 　　例3取步长h=0.5,用四阶龙格—库塔公式求解常微方程初值问题　　解方程右端顶为　　四阶龙格—库塔公式求解初值问题算法　　第一步：输入初值　　第二步：计算；　　第三步：计算　　第四步：计算　　第五步：计算　　第六步：计算　　第七步：判断,若n