【数学归纳法证明棣莫弗公式.】
1人问答
问题描述：
数学归纳法证明棣莫弗公式.
姜静回答：
根据两复数相乘的公式,设Z=r(cosx+isinx),Z'=r'(cosx'+isinx')
则Z*Z'=rr'(cos(x+x')+isin(x+x'))
令Z=Z',得Z^2=r^2(cos2x+isin2x)
继续用Z乘这个式子,得Z^3=r^2(cos3x+isin3x)
设当n=k－1时,有Z^n=r^(k－1)(cos(k－1)x+isin(k－1)x)
则n=k时
Z^n=r^(k－1)(cos(k－1)x+isin(k－1)x)×r(cosx+isinx)
=r^k[cos(k－1)xcosx－sin(k－1)xsinx＋i﹙sin(k－1)xcosx＋sinxcos(k－1)x﹚]
=r^k(coskx+isinkx),也成立
∴n∈N,Z^n=r^n(cosnx+isinnx)
或者不用数学归纳法,可以这样证明：
引入欧拉公式：e^ix=cosx+isinx
将e^t,sint,cost分别展开为泰勒级数：
e^t=1+t+t^2/2!+t^3/3!+……+t^n/n!+……
sint=t-t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……
cost=1-t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……
将t=ix代入以上三式,可得欧拉公式
应用欧拉公式,（cosx＋isinx）^n=(e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
数学推荐
![【[高一数学]类正弦曲线的离原点最近的最小值点是x=-pi/2ω,这是怎么得来的?请问有什么原理么?另外,这个理论能否推广到类余弦函数上去?类正弦曲线即y=Asin(ωx+φ)】](/UploadFile/wdimg/2026/2680184108/176/1985861325.jpg)
数学推荐
最新更新
精品分类
优秀数学推荐
热门数学
邮箱： 