是不是所有整数边的直角三角形都有一边是5的倍数?我的问题是是不是一定有5
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问题描述：
是不是所有整数边的直角三角形都有一边是5的倍数?
我的问题是是不是一定有5
欧光峰回答：
不是在三边都是正整数的直角三角形中,设边长为a,b,c.因其满足
,即有a^2+b^2=c^2.假定a,b,c中某两边有
k,那么由这个等式易知第三边也一定有这个公约数k.因此,这三边先约去公约数,可使它们互质后再来讨论.
以下都先假定a,b,c互质：
若a,b为奇数,设a=2a1+1,b=2b1+1,那么
a^2+b^2=(2a1+1)^2+(2b1+1)^2=4(a1^2+a1+b1^2+b1)+2,显然这个数不可能是完全
（因任何整数的完全平方数要么是4的倍数,要么除以4余数为1,不可能除以4后余数是2.）即没有整数c,使a^2+b^2=c^2.
因此,a,b中至少有一个为偶数.不妨设a为偶数2a1,b为奇数2b1+1,c为奇数2c1+1.
那么a^2=c^2-b^2即(2a1)^2=(2c1+1)^2-(2b^2+1)=4c1*(c1+1)-4b1*(b1+1),
（a1)^2=c1(c1+1)-b1(b1+1).
因c1,c1+1是两个连续整数,必定一奇一偶,故c1*(c1+1)是偶数.同理,b1(b1+1)也是偶数.因此,上式左边也是偶数,即a1是偶数.
因此,a=2a1是4的倍数.
由以上证明可知,三边都是整数的直角三角形中至少有一边（而且是直角边）是4的倍数
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