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在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,∠C=90°,D,E分别为AC,AB边上的点,且DE∥BC,沿DE将△ADE折起(记为△A1DE),使二面角A1-DE-B为直二面角.(1)当E点在何处时,A1B的长度最小,并求出最小值;(2)
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问题描述:

在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,∠C=90°,D,E分别为AC,AB边上的点,且DE∥BC,沿DE将△ADE折起(记为△A1DE),使二面角A1-DE-B为直二面角.

(1)当E点在何处时,A1B的长度最小,并求出最小值;

(2)当A1B的长度最小时,求二面角A1-BE-C的大小.

郭斯羽回答:
  (1)∵DE∥BC,∴CD⊥DE,A1D⊥DE,∴∠CDA1为二面角A1-DE-B的平面角,∴∠CDA1=90°   设CD=x,AD=4-x,则A1B2=BC2+CD2+DA12=2x2-8x+25=2(x-2)2+17   当x=2时,即D为CA中点,此时E为BA中点时,AB有最小值17   (2)过D作DH⊥AE于H,连接A1H,∵A1D⊥ABC∴A1H⊥AE   ∴∠A1HD是二面角A1-BE-C的平面角   tan∠A1HD=A1DDH=265=53,∴∠A1HD=arctan53.   二面角A1-BE-C的大小为arctan53.
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