已知数列{an}满足,an+1+an=2n,若对任意n∈N*,都有(an^2+an+1^2)/(an+an+1)≥4成立,求a1的取值范围
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问题描述：
已知数列{an}满足,an+1+an=2n,若对任意n∈N*,都有(an^2+an+1^2)/(an+an+1)≥4成立,求a1的取值范围
董文瀚回答：
设a(n+1)+A(n+1)+B=-[an+An+B]
和a(n+1)+an=2n对照后,得到A=-1,B=1/2
所以a(n+1)-(n+1)+1/2=-[an-n+1/2]
所以bn=an-n+1/2是公比为-1的等比数列
所以bn=an-n+1/2=(a1-1/2)*(-1)^(n-1)
所以an=n-1/2+(a1-1/2)*(-1)^(n-1)
a(n+1)=n+1/2+(a1-1/2)*(-1)^n
(an^2+an+1^2)/(an+an+1)
=[(a(n+1)+an)^2-2a(n+1)an]/(an+an+1)
=[4n^2-2a(n+1)an]/2n
=[2n^2+(1/2)+2(a1-1/2)(a1-1/2+(-1)^n]/2n
=n+[(1/2)+2(a1-1/2)(a1-1/2+(-1)^n]/2n
>=2√{[(1/2)+2(a1-1/2)(a1-1/2+(-1)^n]/2}
=√[1+4(a1-1/2)(a1-1/2+(-1)^n]
>=4
所以n为偶数时候带入,得到a1^2>=4
所以a1>=2或a1=0
所以a1>=3或a1=3或a1
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