一道数学题已知实数x(0)、x(1)、x(2)、…x(n)、…的构成规律有递推关系：x(0)=5.x(n)=x(n-1)+1/x(n-1)（n=1,2……）,求证45＜x(1000)＜45.1.
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问题描述：
一道数学题
已知实数x(0)、x(1)、x(2)、…x(n)、…的构成规律有递推关系：x(0)=5.x(n)=x(n-1)+1/x(n-1)（n=1,2……）,求证45＜x(1000)＜45.1.
马帅回答：
不难看出x(n)>0,且x(n)递增
x(n+1)^2=x(n)^2+1/x(n)^2+2
x(n+1)^2-x(n)^2=1/x(n)^2+2>2
x(n)^2-x(n-1)^2=1/x(n-1)^2+2>2
x(n-1)^2-x(n-2)^2=1/x(n-2)^2+2>2
……
x1^2-x0^2=1/x0^2+2>2
以上各式相加,叠加相消：
x(n+1)^2-x0^2=∑1/x(k)^2+2(n+1)>2(n+1),k从0取到n
取n=999,即x(1000)^2-25>2000
∴x(1000）>45同理x(100)>227
x1000=根号(∑1/x(k)^2+2025)k从0取到999
∵x(n)为递增数列
∴1/x(0)^2>1/x(1)^2>1/x(2)^2>……>1/x(n)^2
∴∑1/x(k)^2
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