如图所示，在正三棱柱中，底面边长为a，侧棱长为a，D是棱的中点．(Ⅰ)求证：∥平面；(Ⅱ)求二面角的大小．____
1人问答
问题描述：
如图所示，在正三棱柱中，底面边长为a，侧棱长为a，D是棱的中点．
(Ⅰ)求证：∥平面；
(Ⅱ)求二面角的大小．
____
孙长瑜回答：
【分析】(Ⅰ)连接A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，D为A1C1的中点，根据中位线可知BC1∥DE，又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，根据线面平行的判定定理可知BC1∥平面AB1D；
(Ⅱ)过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱柱的性质可知，DF⊥平面AB1，连接EF，DE，在正ΔA1B1C1中，求出B1D，在直角三角形AA1D中，求出AD，即可证得AD=B1D，则DE⊥AB1，由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB1．则∠DEF为二面角A1-AB1-D的平面角，根据ΔB1FE∽ΔB1AA1，即可求出∠DEF．
(Ⅰ)连接A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，
∵D为A1C1的中点，
∴DE为ΔA1BC1的中位线，
∴BC1∥DE．
又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，
∴BC1∥平面AB1D；
(Ⅱ)过D作DF⊥A1B1于F，
由正三棱柱的性质可知，DF⊥平面AB1，连接EF，DE，在正ΔA1B1C1中，
∴，
在直角三角形AA1D中，
∵，
∴AD=B1D．
∴DE⊥AB1，
由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB1，
则∠DEF为二面角A1-AB1-D的平面角，又得，
∵ΔB1FE∽ΔB1AA1，
∴
∴．
故所求二面角A1-AB1-D的大小为．
【点评】本题主要考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定等有关知识，二面角的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视．
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