高二数学题,急求.求满足下列条件的f(x):(1)f(x)是三次多项式函数,且f(0)=0,f'(0)=0,f'(1)=-3,f'(2)=0；(2)f'(x)是一次函数,且x^f'(x)-(2x-1)f(x)=1.
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问题描述：
高二数学题,急求.
求满足下列条件的f(x):
(1)f(x)是三次多项式函数,且f(0)=0,f'(0)=0,f'(1)=-3,f'(2)=0；
(2)f'(x)是一次函数,且x^f'(x)-(2x-1)f(x)=1.
沈武威回答：
(1)
因f(x)是三次多项式函数,所以设f(x)=ax³+bx²+cx+d
当f(0)=0时,代入上式得d=0,上式变为：f(x)=ax³+bx²+cx
对上式求导得：f'(x)=3ax²+2bx+c
当f'(0)=0时,代入上式得c=0,上式变为：f'(x)=3ax²+2bx（1）
当f'(1)=-3时,代入（1）式得3a+2b=-3（2）
当f'(2)=0时,代入（1）式得12a+4b=0（3）
式（2）与（3）联解得：a=1,b=-3
将a=1,b=-3,c=0,d=0代入f(x)=ax³+bx²+cx+d
得f(x)=x³-3x²
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