设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．|其它问答-字典翻译问答网

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设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．

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问题描述：

设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明A+E的行列式大于1．

黄继武回答：

　　因为A是n阶正定阵，所以其特征值均大于0．　　设λ为A的一个特征值，ξ为对应与λ的一个特征向量，　　则：（A+E）ξ=Aξ+ξ=λξ+ξ=（λ+1）ξ，　　即λ+1为A+E的特征值．　　注意到λ＞0，　　故：A+E的特征值均大于1．　　设A+E的特征值为：λ1，λ2，…，λn，　　则λi＞1，　　从而：|A+E|=λ1λ2…λn＞1．

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