【设C与D为n阶实矩阵，A=C′C，B=D′D，λ，μ为正实数，证明：（1）存在方阵P，使λA+μB=P′P；（2）若C与D之一为可逆矩阵，则上述矩阵P可逆．】
1人问答
问题描述：
设C与D为n阶实矩阵，A=C′C，B=D′D，λ，μ为正实数，证明：
（1）存在方阵P，使λA+μB=P′P；
（2）若C与D之一为可逆矩阵，则上述矩阵P可逆．
顾晓鸣回答：
证明：（1）由于（λA+μB）′=λA′+μB′=λA+μB
∴λA+μB是实对称矩阵
∴对任给的α∈Rn，有
α′（λA+μB）α=λα′C′Cα+μα′D′Dα=λ（Cα）′（Cα）+μ（Dα）′（Dα）≥0
∴λA+μB是半正定矩阵
∴存在方阵P，使λA+μB=P′P
（2）若C与D之一为可逆矩阵，不妨设C可逆，
∴∀α∈Rn，α≠0，则Cα≠0
∴α′（λA+μB）α=λα′C′Cα+μα′D′Dα=λ（Cα）′（Cα）+μ（Dα）′（Dα）＞0
∴λA+μB是正定矩阵
∴存在可逆矩阵P，使λA+μB=P′P
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