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设R为交换环(不一定有乘法单位元),若R有零因子但只有有限个零因子,证明:R是一个有限环
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问题描述:

设R为交换环(不一定有乘法单位元),若R有零因子但只有有限个零因子,证明:R是一个有限环

李敬民回答:
  用反证法,假设R是无限环,但存在并只有有限个零因子.   设a是R中一个零因子,则有a≠0,并存在b≠0使ab=0.   考虑映射φ:R→R,φ(x)=xa,可知φ是R作为加法群到自身的同态.   易见,ker(φ)中的非零元都是零因子,因此ker(φ)是有限群.   而R是无限群,由同态基本定理,im(φ)同构于R/ker(φ)是无限集.   即当x取遍R中的元素,xa有无限种不同的取值.   但(xa)b=x(ab)=0,可知xa的非零取值都是R中的零因子.   于是R中有无限个零因子,矛盾.   因此题目所述的环只能为有限环.
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