用反证法,假设R是无限环,但存在并只有有限个零因子.
设a是R中一个零因子,则有a≠0,并存在b≠0使ab=0.
考虑映射φ:R→R,φ(x)=xa,可知φ是R作为加法群到自身的同态.
易见,ker(φ)中的非零元都是零因子,因此ker(φ)是有限群.
而R是无限群,由同态基本定理,im(φ)同构于R/ker(φ)是无限集.
即当x取遍R中的元素,xa有无限种不同的取值.
但(xa)b=x(ab)=0,可知xa的非零取值都是R中的零因子.
于是R中有无限个零因子,矛盾.
因此题目所述的环只能为有限环.