已知函数f(x)=x(x-a)(x-b)，点A(s，f(s))，B(t，f(t))．(1)若a=0，b=3，函数f(x)在(t，t+3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；(2)当a=0时，对任意的恒成立，求b的取值范围；(3)若0<a&l
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问题描述：
已知函数f(x)=x(x-a)(x-b)，点A(s，f(s))，B(t，f(t))．
(1)若a=0，b=3，函数f(x)在(t，t+3)上既能取到极大值，又能取到极小值，求t的取值范围；
(2)当a=0时，对任意的恒成立，求b的取值范围；
(3)若0<a<b，函数f(x)在x=s和x=t处取得极值，且，O是坐标原点，证明：直线OA与直线OB不可能垂直．____
石燕华回答：
【分析】(1)只要具体求出函数的极值点，让两个极值点在区间(t，t+3)即可；(2)把参数b分离出来，转化为求函数的最值；(3)把s，t用a，b表示，在假设垂直的条件下即可得到a，b的关系式，根据不等式只要证明，即可根据反证法原理得到所证明的结论．考点：导数及其应用．
(1)当a=0，b=3时，f(x)=x3-3x2，f'(x)=3x2-6x.
令f'(x)=0，得x=0，2.
∴函数f(x)在x=0处取得极大值，在x=2处取得极小值．
∵函数f(x)在(t，t+3)上既能取到极大值，又能取到极小值，
∴只要t<0且t+3>2即可，即只要-1<t<0即可，
∴t的取值范围是(-1，0)．(4分)
(2)当a=0时，对任意的恒成立，
即x2-bx+lnx+1≥0对任意的恒成立，
也即对任意的恒成立．
令，
则．
记m(x)=x2-lnx，则，
则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点，故也是最小值点，
所以，
从而g'(x)>0，所以函数g(x)在单调递增，
函数．
故只要即可，
所以b的取值范围是．(8分)
(3)假设，即，即(s，f(s))•(t，f(t))=st+f(s)f(t)=0，
故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1，即[st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1．
因为s，t是方程f'(x)=0的两个根，
故，代入上式得：ab(a-b)2=9.
则，即，
与矛盾，所以直线OA与直线OB不可能垂直．
【点评】本题综合考查导数研究函数极值、单调性、最值等，考查反证法思想在解题中的应用．本题的难点是第三问，其关键是在等式(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1中，通过配项可以使用韦达定理消掉s，t得到关于a，b的等式，本题这个地方的技巧是极高的．
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