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已知a,b,c,d是不全为0的实数,函数f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d,方程f(x)=0有实根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根,反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根.(Ⅰ
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问题描述:

已知a,b,c,d是不全为0的实数,函数f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d,方程f(x)=0有实根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根,反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根.

(Ⅰ)求d的值;

(Ⅱ)若a=3,f(-1)=0,求c的取值范围.

高理富回答:
  解(Ⅰ)设x0是f(x)=0的根,那么f(x0)=0,则x0是g(f(x))=0的根,则g(f(x0))=0即g(0)=0,所以d=0.   (Ⅱ)若a=3,f(-1)=0,所以b-c=0,即f(x)=0的根为0和-1,   ①当c=0时,则b=0这时f(x)=0的根为一切实数,而是g(f(x))=0,所以c=0符合要求.   当c≠0时,因为3(cx2+cx)2+c(cx2+cx)+c=0的根不可能为0和-1,所以3(cx2+cx)2+c(cx2+cx)+c必无实数根,   ②当c>0时,t=cx2+cx=c(x+12
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