给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N．以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q．求证：M，N，P，Q四点共圆．（第19届美国数学奥林匹克）
1人问答
问题描述：
给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N．以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q．求证：M，N，P，Q四点共圆．
（第19届美国数学奥林匹克）
安继刚回答：
证明：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM．
由射影定理，得AM*AM=AC'*AB，AP*AP=AC*AB'，又B、C、B'、C'四点共圆，
由切割线定理，AC'*AB=AC*AB'，
∴AM=AP，又AM=AN，AP=AQ（垂直于直径的弦性质），
∴AM=AP=AN=AQ，M、N、P、Q是共圆心为A的圆．
须证MK•KN=PK•KQ，
即证（MC′-KC′）（MC′+KC′）
=（PB′-KB′）•（PB′+KB′）
或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2．①
∵AP=AM（所对弧长相等），
从而有AB′2+PB′2=AC′2+MC′2．
故MC′2-PB′2=AB′2-AC′2
=（AK2-KB′2）-（AK2-KC′2）
=KC′2-KB′2．②
由②即得①，命题得证．
数学推荐
数学推荐
最新更新
精品分类
优秀数学推荐
热门数学
邮箱： 