【数学无敌者进求和：1/2+1/3+1/4+1/5+……我的证明：所求为S，1/2*S=1/4+1/6+1/8+……，①S-①：1/2*S=1/2+1/3+1/5+1/7+1/9+……，明显①≠②】
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问题描述：
数学无敌者进
求和：1/2+1/3+1/4+1/5+……
我的证明：所求为S，1/2*S=1/4+1/6+1/8+……，①
S-①：1/2*S=1/2+1/3+1/5+1/7+1/9+……，
明显①≠②
陈显回答：
当n→∞时
1＋1/2＋1/3＋1/4＋…＋1/n
这个级数是发散的.简单的说,结果为∞
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
补充：用高中知识可以证明
1/2≥1/2
1/3＋1/4＞1/2
1/5＋1/6＋1/7＋1/8＞1/2
……
1/[2^(k-1)+1]＋1/[2^(k-1)+2]＋…＋1/2^k＞[2^(k-1)](1/2^k)＝1/2
对于任意一个正数a,把a分成有限个1/2
必然能够找到k,使得
1＋1/2＋1/3＋1/4＋…＋1/2^k＞a
所以n→∞时,1＋1/2＋1/3＋1/4＋…＋1/n→∞
1＋1/2²＋1/3²＋…＋1/n²→π²/6
这个首先是由欧拉推出来的,要用到泰勒公式,属于大学范围
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
将sinx按泰勒级数展开：
sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋…
于是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋…
令y＝x^2,有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…
而方程sinx＝0的根为0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y＝0的根为π²,(2π)²,…
即1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…＝0的根为π²,(2π)²,…
由韦达定理,常数项为1时,根的倒数和＝一次项系数的相反数
即1/π²＋1/(2π)²＋…＝1/3!
故1＋1/2²＋1/3²＋…＝π²/6
1＋1/2³＋1/3³＋…＋1/n³→?
这个值是存在的,但至今尚未解决,楼主不妨试一下,呵呵
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