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【如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”,图中竖直线段和斜线段都表示通道,并且在交点处相通,假设在交点处小弹子向左或向右是等可能的.若竖直线段有1条的为第1层,有2条的为】
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问题描述:

如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”,图中竖直线段和斜线段都表示通道,并且在交点处相通,假设在交点处小弹子向左或向右是等可能的.若竖直线段有1条的为第1层,有2条的为第2层,……,依此类推,现有一颗弹子从第1层的通道里向下运动,求:

(1)该小弹子落入第4层第2个竖直通道的概率(从左向右数);

(2)猜想落入第n+1层的第m个竖直通道里的概率;

(3)该小弹子落入第n层第m-1个竖直通道的概率与该小弹子落入第n层第m个竖直通道的概率之和等于什么?

刘嵩岩回答:
  记第i层第j个竖直通道为Aij(1)因为在交点处小弹子向左或向右是等可能的,所以弹子落入A41的路径只有1条,落入A42的路径有3条,落入A43的路径有3条,落入A44的路径有1条,故所求的概率P==. (2)设弹子落入Anm的概率为Pnm,根据杨辉三角的特点可猜想,所求的概率Pn+1m=÷()=2-n. (3)∵∴2-(n-1)C+2-(n-1)=2-(n-1)即Pnm-1+Pnm=2Pn+1m所以所求的概率之和等于弹子落入第n+1层第m个竖直通道的概率的2倍.
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