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如图,⊙O的直径BC=4,过点C作⊙O的切线m,D是直线m上一点,且DC=2,A是线段BO上一动点,连结GH交BC于点E.(1)当A是BO的中点时,求AF的长;(2)若∠AGH=∠AFD,求△AGH的面积.不好意思,刚才输入时少一行
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问题描述:

如图,⊙O的直径BC=4,过点C作⊙O的切线m,D是直线m上一点,且DC=2,A是线段BO上一动点,连结GH交BC于点E.

(1)当A是BO的中点时,求AF的长;

(2)若∠AGH=∠AFD,求△AGH的面积.

不好意思,刚才输入时少一行字,现将题重新输入:

如图,⊙O的直径BC=4,过点C作⊙O的切线m,D是直线m上一点,且DC=2,A是线段BO上一动点,连结AD交⊙O于点G,过点A作AD的垂线交直线m于点F,交⊙O于点H,连结GH交BC于点E。

(1)当A是BO的中点时,求AF的长;

(2)若∠AGH=∠AFD,求△AGH的面积。

马秀丽回答:
  (1)∵BC=4,A是OB的中点   ∴AC=3.又∵DC为圆O的切线   ∴∠ACD=∠ACF=90°   ∵AD⊥AF,∴∠ADC、∠CAF都和∠DAC互余;   ∴∠ADC=∠CAF,∽△FCA   ∴CD:AC=AC:FC,解得:   (或FC=4.5或求出)   (2)∵∠AGH=∠AFD,∠DAF=∠HAG=90°   ∴△AGH∽△AFD   ∴∠AGH=∠F=∠CAG,∠AHG=∠D=∠CAF   ∴AE=GE=HE.(或AE是Rt△AGH斜边GH上的中线)   ∴可知GH是圆O的直径或GH是垂直于直径的弦,①如图1所示,如果GH是直径,此时A,B两点重合,GH=4,而DF=10,   ∴△AGH与△AFD的相似比为2:5,   ∴△AGH与△AFD的面积比为4:25,而△AFD面积为   ∴△AGH面积(或3.2).   ②如图2所示,如果GH不是直径,则GH⊥BC   ∴AC垂直平分GH,AG=AH   ∴GH//DF,而∠GAH=90°   ∴∠AGH=45°,∴∠D=∠AGH=45°   在Rt△ACD中,∠DAC=45°   ∴AC=DC=2,而OC=2,∴A、O两点重合,那么AG=AH=2,   ∴△AGH面积为.
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