用三重积分求由曲面Z=X2+2Y2及Z=6-2X2-Y2所围成的立体的体积.
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问题描述：
用三重积分求由曲面Z=X2+2Y2及Z=6-2X2-Y2所围成的立体的体积.
亢雪英回答：
Ω由z=x²+2y²及2x²+y²=6-z围成.
消掉z得投影域D：
x²+2y²=6-2x²-y²
==>x²+y²≤2
体积=∫∫∫ΩdV
=∫(-√2→√2)dx∫(-√(2-x²)→√(2-x²))dy∫(x²+2y²→6-2x²-y²)dz
=4∫(0→√2)dx∫(0→√(2-x²))[(6-2x²-y²)-(x²+2y²)]dy
=12∫(0→√2)dx∫(0→√(2-x²))(2-x²-y²)dy
=12∫(0→π/2)dθ∫(0→√2)(2-r²)rdr
=12*π/2*∫(0→√2)(2r-r³)dr
=6π*(r²-r⁴/4)：0→√2
=6π*(2-4/4)
=6π
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