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一道令人郁闷的数学题目已知△ABC的重心为G,M为△所在平面上任意一点,求证MA的平方+MB的平方+MC的平方=GA的平方+GC的平方+GB的平方+3GM的平方三角形还有哪些"心"?
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问题描述:

一道令人郁闷的数学题目

已知△ABC的重心为G,M为△所在平面上任意一点,求证MA的平方+MB的平方+MC的平方=GA的平方+GC的平方+GB的平方+3GM的平方

三角形还有哪些"心"?

沈明炘回答:
  根据余弦定理   GA^2+GM^2-2GA*GM*cosAGM=MA^2   GB^2+GM^2-2GB*GM*cosBGM=MB^2   GC^2+GM^2-2GC*GM*cosCGM=MC^2   累加得   GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2-2*(GA*GM*cosAGM+GB*GM*cosBGM+GC*GM*cosCGM)   =MA^2+MB^2+MC^2   而GA*GM*cosAGM+GB*GM*cosBGM+GC*GM*cosCGM   =GA*GM+GB*GM+GC*GM(向量乘法GA等全为向量)   =GM*(GA+GB+GC)   GA+GB+GC=0   故GA*GM*cosAGM+GB*GM*cosBGM+GC*GM*cosCGM=0   故MA的平方+MB的平方+MC的平方=GA的平方+GC的平方+GB的平方+3GM的平方   内心外心垂心重心.
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