【abc考虑n=a+b+c,满足abc=1,这里n是自然数,a、b、c是正有理数.请问,对哪些n有解?哪些n无解?abc考虑n=a+b+c,满足abc=1,这里n是自然数,a、b、c是正有理数.例如,3=1+1+1,5=4+1/2+1/2,6=9/2+4/3+1/6……请问,对哪】
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问题描述：
abc考虑n=a+b+c,满足abc=1,这里n是自然数,a、b、c是正有理数.请问,对哪些n有解?哪些n无解?
abc考虑n=a+b+c,满足abc=1,这里n是自然数,a、b、c是正有理数.例如,3=1+1+1,5=4+1/2+1/2,6=9/2+4/3+1/6……请问,对哪些n有解?哪些n无解?
当只有两个未知数时，n=a+b,ab=1。那样容易证得，当且仅当n=2时有解，即2=1+1。对3个未知数的情形，若能证明n=4时无解，可能是个不错的结果！
杜增凯回答：
设a,b,c分母的最小公倍数为m那么ma,mb,mc为整数
ma*mb*mc=m^3
ma+mb+mc=mn
所以这个问题可以转化为整数abc满足abc=m^3,a+b+c=nm
求n的可能值
设
a=x^3,b=y^3,c=z^3
那么
xyz=m
x^3+y^3+z^3=nxyz
所以这个问题可以转化为求所有的n,使得方程x^3+y^3+z^3=nxyz有正整数解
这是一个很复杂的数论问题,有很多的文章对这个方程进行的研究,你可以搜索下相关的解答
目前已经知道的可求解n为
3,5,6,9,10,13,14,15,16,17,18,19,20,21,26,29,30,31,35,36,38.
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