已知函数(a∈R)．(1)当a=2时，求函数f(x)的极值点；(2)若函数f(x)在区间(0，1)上恒有f′(x)>x，求实数a的取值范围；(3)已知，且(n=1，2，…)，在(2)的条件下，证明数列是单调递增数列．____
1人问答
问题描述：
已知函数(a∈R)．
(1)当a=2时，求函数f(x)的极值点；
(2)若函数f(x)在区间(0，1)上恒有f′(x)>x，求实数a的取值范围；
(3)已知，且(n=1，2，…)，在(2)的条件下，证明数列是单调递增数列．____
姜建芳回答：
【分析】(1)先求出导函数，找到导数为0的根，在检验导数为0的根两侧导数的符号即可得出结论．
(2)因f′(x)=2x-a+，由f′(x)>x，分参数得到：a<x+，再利用函数y=x+的最小值即可得出求实数a的取值范围．
(3)本题考察的知识点是数学归纳法，要证明当n=1时，c2>c1成立，再假设n=k时ck+1>ck，ck>0成立，进而证明出n=k+1时ck+2>ck+1，也成立，即可得到对于任意正整数n数列{cn}是单调递增数列．
(1)a=2时，fx)=x2-2x+ln(x+1)，则f′(x)=2x-2+=，
f′(x)=0，x=±，且x>-1，
当x∈(-1，-)∪(，+∞)时f′x)>0，当x∈(-，)时，f′(x)<0，
所以，函f(x)的极大值点x=-，极小值点x=．
(2)因为f′(x)=2x-a+，f′(x)>x，
2x-a+>x，
即a<x+，
y=x+=x+1+-1≥1(当且仅x=0时等号成立)，
∴ymin=1．
∴a≤1
(3)①当n=1时，c2=f′(x)=2c1-a+，
又∵函y=2x+当x>1时单调递增，c2-c1=c1-a+=c1+1+-(a+1)>2-(a+1)=1-a≥0，
∴c2>c1，即n=1时结论成立．
②假设n=k时，ck+1>ck，ck>0则n=k+1时，
ck+1=f′(ck)=2ck-a+，
ck+2-ck+1=ck+1-a+=ck+1+1+-(a+1)>2-(a+1)=1-a≥0，
ck+2>ck+1，即n=k+1时结论成立．由①，②知数{cn}是单调递增数列．
【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究函数的极值、数列与函数的综合、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
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