【Steiner定理的证明】
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问题描述：
Steiner定理的证明
傅连祥回答：
△ABC中,AB=AC,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BD=BE.求证AB=AC.证明（一）：分别作AM‖BD.AN‖CE,分别交BC延长线于M、N；令AB=c,AC=b,BDC=a,BD=CE=L,AM=m,AN=n；∠ABC=2α,∠ACB=2β,AE=x,AD=y.
由角平分线定理,x=bc/(a+b),y=bc/(a+C),m/n=(a+c)/(a+b)(1)；
cos∠ABM+COS∠ABC=0,cos∠ACN+cos∠ACB=0.化简既得
m^2=c/a[(a+c)^2-b^2],n^2=b/a[(a+b)^2-c^2)](3).将(3)代入(1)化简既得b=c,命题得证.
证明（二）：b/c=sin∠2α/sin∠2β=(sin∠α/sin∠β).(cos∠α/cos∠β)；=(y/x).(1+cos∠2α)/(1+cos∠2β)(1).
(1+cos∠2α)=[(a+c^2)-b^2]/2ac,(1+cos∠2β)=(a+b^2)-c^2]/2ab；把X=bc/(a+b),y=bc/(a+c)代入(1)化简既得
b=c.命题得证.
证明（三）:S△ABD+S△DBC=S△ACE+S△BCE=S△ABC,即
(1/2)L(a+c)sin∠α=(1/2)ac(sin∠2α)(1),(1/2)L(a+b)sin∠β=(1/2)ab(sin∠2β)(2),(1)/(2)化简既得
[ccos∠α/cos∠β]=(ab+bc)/(ac+bc).假设b>c或α>β均得出矛盾.从而命题得证.
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