设三次函数f(x)的图像与x轴交于不同的三点A、B、C,且在点A、B处的切线互相平行.求证：A、B、C三点的横坐标α、Υ、β成等差数列
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问题描述：
设三次函数f(x)的图像与x轴交于不同的三点A、B、C,且在点A、B处的切线互相平行.
求证：A、B、C三点的横坐标α、Υ、β成等差数列
费学成回答：
设y=ax^3+bx^2+cx=0,a0,
α、Υ、β为方程的三个根:x1,x2,x3
x1+x2+x3=-b/a
y'=3ax^2+2bx+c
由题意有:y'(x1)=y'(x2)
3ax1^2+2bx1+c=3ax2^2+2bx2+c
3a(x1^2-x2^2)+2b(x1-x2)=0
3a(x1+x2)+2b=0
x1+x2=-2b/(3a)
x3=-b/a-(x1+x2)=-b/a+2b/(3a)=-b/(3a)=(x1+x2)/2
因此x1,x3,x2成等差数列.
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