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【已知等边△ABC的顶点A在平面α上,B,C在的α同侧,D为BC中点,△ABC在α上的射影是以A为直角顶点的直角三角形,则直线AD与平面α所成角的正弦值的取值范围是】
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问题描述:

已知等边△ABC的顶点A在平面α上,B,C在的α同侧,D为BC中点,△ABC在α上的射影是以A为直角顶点的直角三角形,则直线AD与平面α所成角的正弦值的取值范围是

单青回答:
  设△ABC边长为1,D在平面α上投影为E,直线AD与平面α所成角为a,则AE=cosa*根号3/2,BC在平面α上投影为MN,MN=2AE   设BC与与平面α所成角为b,则MN=cosb=2AE=根号3*cosa   所以cosa=cosb/根号3   b角取值范围[0,90)度   cosb取值范围(0,1]   因此cosa取值范围(0,1/根号3]   sina取值[根号6/3,1)
刘京菊回答:
  正确答案是[根号6/3,根号3/2)
单青回答:
  漏考虑了另一个因素,即当a角确定后,b角的上限不是90度,而是90-a,即当三角形ABC与平面α垂直时b角最大,因此cosa=cosb/根号3>cos(90-a)/根号3=sina/根号3则tga
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