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在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别是PA,PB的中点,PD垂直平面ABCD,且PD=AD=根号2,CD=1(1)证明:MN平行平面PCD(2)证明:MC垂直BD(3)求二面角A-PB-D的余弦值.
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问题描述:

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别是PA,PB的中点,PD垂直平面ABCD,且PD=AD=根号2,CD=1

(1)证明:MN平行平面PCD

(2)证明:MC垂直BD

(3)求二面角A-PB-D的余弦值.

程建中回答:
  (1)因为MN为三角形PAB的中位线,所以MN平行AB,从而平行CD,因为MN不在平面PCD上,所以MN平行平面PCD.   (2)取AD中点E,连接ME,因为ME是三角形APD的中位线,所以ME平行PD,因为PD垂直平面ABCD,所以ME垂直平面ABCD,所以EC是MC在平面ABCD的射影,因为EC垂直BD,由三垂线定理得MC垂直BD.   (3)PD垂直平面ABCD,所以PD垂直AD,PD垂直BD,所以角ADB就是二面角A-PB-D.   COS角ADB=AD/BD=√2/√3=√6/3.
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