已知数列8*1/1^2*3^2,8*2/3^2*5^2,……8*n/(2n-1)^2(2n+1)^2,…,Sn为该数列的前n项和,计算得S1=8/9,S2=24/25,S3=48/49,S4=80/81.观察上述结果,推测出Sn(n∈N*),并用数学归纳法加以证明
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问题描述：
已知数列8*1/1^2*3^2,8*2/3^2*5^2,……8*n/(2n-1)^2(2n+1)^2,…,Sn为该数列的前n项和,计算得S1=8/9,S2=24/25,S3=48/49,S4=80/81.观察上述结果,推测出Sn(n∈N*),并用数学归纳法加以证明
史丽英回答：
an=8n/[(2n-1)(2n+1)]^2
=1/(2n-1)^2-1/(2n+1)^2
Sn=a1+a2+...+an
=1-1/(2n+1)^2
ByMI
Sn=1-1/(2n+1)^2
n=1
S1=8/9=1-1/(2+1)^2
p(1)istrue
Assumep(k)istrue
ie
Sk=1-1/(2k+1)^2
forn=k+1
S(k+1)=1-1/(2k+1)^2+8(k+1)/[(2k+1)(2k+3)]^2
=1-[(2k+3)^2-8(k+1)]/[(2k+1)(2k+3)]^2
=1-(4k^2+4k+1)/[(2k+1)(2k+3)]^2
=1-1/(2k+3)^2
p(k+1)istrue
ByprincipleofMI,itistrueforall+veinteger
史丽英回答：
an=8n/[(2n-1)(2n+1)]^2
=1/(2n-1)^2-1/(2n+1)^2
Sn=a1+a2+...+an
=(1-1/3^2)+(1/3^2-1/5^2)+(1/5^2-1/7^2)+...+[1/(2n-1)^2-1/(2n+1)^2]
=1-1/(2n+1)^2
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